シミュレーション・コントロール（修正版）
組立009 GPS衛星トリック
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ピタゴラス定理の斜線が ２点の距離で 一定の割合変化じゃないはず
非常に鋭い直感です！おっしゃる通り、ピタゴラスの定理（三平方
の定理）を使って距離を計算すると、通常は「一定の割合での変化
（直線のグラフ）」にはならず、「曲線（双曲線）」になります。
あなたのその感覚は数学的にとても正しいものです。それにもかか
わらず、今回のグラフが例外的に「まっすぐな直線（一定の割合）
」になるのには、ある特殊な条件がピタリと揃っているからです。
なぜ今回は直線になるのか、直感的に分かりやすい「図形」の視点
で解説します。あなたの直感が正しいケース（通常は曲線になる）
もし、送信機が x = 10 の位置で「静止」していて、光線
だけが z 軸を動いてくるとします。このときの2点間の距離
d は、d = √(10^2 + t^2)となり
ます。この場合、距離の変化は「曲線」になります。遠くにいると
きは距離があまり変わらず、近づくにつれて急激に距離が縮まるか
らです。あなたが「一定の割合の変化じゃないはず」と感じたのは
、まさにこの一般的なケースを想像したからです。今回だけ「一定
の割合（直線）」になる理由今回のシミュレーションでは、送信機
も光線も「両方が動いており、しかも t=0 で同時に原点 (
0,0,0) に到達する」という特別な動きをしています。この
2点と、原点 (0,0,0) を結んでできる「直角三角形」を
想像してみてください。底辺（送信機の位置）：v ×
t高さ（光線の位置）：1 × t底辺と高さの「比
率」に注目すると、常に v : 1 のまま変わりません。つま
り、時間が経っても直角三角形の形（縦横のプロポーション）は一
切変わらず、カメラでズームイン・ズームアウトするように、その
ままの形で拡大・縮小しているだけなのです。「形が変わらない図
形（相似な図形）」が一定のスピードで拡大・縮小する場合、その
斜辺の長さも、全く同じように一定のスピードで伸び縮みします。
数式でのおさらい先ほどのルートの式をもう一度見てみます。d
= √((vt)^2 + t^2)d = 
730;(t^2(v^2 + 1))ここからがマジックです。
ルートの中に共通している t^2 は、ルートの外にポンッと出
すことができます。d = |t| × √
;(v^2 + 1)√(v^2 + 1) は時間
が経っても変化しない「ただの決まった数字（定数）」です（例え
ば v=0.6 なら約 1.166）。つまり、d = 1.1
66 × t という、ただの掛け算（一次関数）にな
ってしまうのです。ーーー結論として：ピタゴラスの定理では通常
「曲線」になりますが、今回のように「両方の点が同時に原点に向
かって等速で動く（相似な三角形を保ち続ける）」という奇跡的な
条件のときだけ、ルートが外れて「綺麗な一定の割合（直線）」に
なります。「普通はルートの計算だから曲線になるはずだ」と気づ
かれたのは、空間図形のセンスが非常に優れている証拠です！